<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 6 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione 

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627269-9

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
          CEP 02909-900 --
          So Paulo -- SP
          Caixa Postal 007
          Tel. (11) 3990-1810
          ~,www.scipione.com.br~,
<P>
                                I
 Dados Internacionais de Catalo-
  gao na Publicao (CIP) 
 (Cmara Brasileira do Livro,
  SP, Brasil)

Centurin, Marlia Ramos
  Matemtica na medida certa: 6 ano / Marlia Ramos
 Centurin, Jos Jakubovic. -- So Paulo: Scipione, 2009. --
 (Coleo Matemtica na medida certa)

  1. Matemtica (Ensino 
 Fundamental)
  I. Jakubovic, Jos. II. Ttulo. III. Srie.

09-01087           CDD-372.#g

          ndice para catlogo sistemtico:
<R+>
 1. Matemtica: Ensino 
  Fundamental 372.#g
<R->
<P>
Marlia Ramos Centurin

<R+>
Licenciada e bacharel em Matemtica (FFCLM -- So Paulo -- SP).
 Professora e assessora de ensino de Matemtica em diversas escolas.
 Autora de vrias obras na rea de Matemtica, entre as quais: *Contedo* e *Metodologia da 
  Matemtica*.

Jos Jakubovic

Licenciado em Matemtica (FFCLM -- So Paulo -- SP).
 Foi professor e assessor de ensino de Matemtica em diversas escolas.
  autor de vrias obras de Matemtica direcionadas ao Ensino Fundamental e Mdio.
<R->
<P>
                             III 
Apresentao

  Voc conhece gente que joga vlei muito bem ou toca guitarra espetacularmente. Como  que esse pessoal se torna to bom?
  Em geral,  porque gosta do que faz e se dedica a isso.
  O gosto tem que vir com o prazer e a alegria. E a dedicao, com exerccio e persistncia. As duas coisas se ajudam: o gosto leva  dedicao e a dedicao melhora o gosto.
  Este livro foi escrito para adoar o gosto, com desafios, surpresas e invenes. E para orientar a dedicao, organizando seu estudo.
  Acrescentando a ajuda de seu professor e um pouco de gosto e dedicao (e, se faltar gosto, pondo mais dedicao), voc vai se dar bem em Matemtica. E vai perceber que esse conhecimento pode lhe ser til a vida toda.
  Os autores
<P>
<P>
                               V 
Seu livro em Braille 

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam. 
  Dicas para estudar no seu livro em braille: 
<R+>
 1 As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas. 
 2 Quando voc encontrar o sinal _`[ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _`] saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille. 
 3 Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos. 
 4 Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo. 
<R->

<P>
                             VII
Sumrio Geral

Primeira Parte

<R+>
Captulo 1 -- Nmeros naturais, operaes e resoluo de 
  problemas
 1- Nmeros naturais ::::::: 1
 2- Situaes que envolvem a 
  adio e a subtrao :::::: 11
 Esconde-esconde: ao sobre 
  operao inversa :::::::::: 25
 3- Adio e subtrao: 
  operaes inversas :::::::: 26
 4- Situaes que envolvem a 
  multiplicao ::::::::::::: 37
 5- Situaes que envolvem a 
  diviso ::::::::::::::::::: 49
 Decifre o clculo: ao 
  sobre algoritmos :::::::::: 61
 6- Multiplicao e diviso: 
  operaes inversas :::::::: 63
 7- Expresses numricas ::: 70
 O time com mais gols ...: 
  ao sobre clculo 
  mental :::::::::::::::::::: 84
<P>
 8- Propriedades da adio e 
  da multiplicao :::::::::: 86
 9- Propriedades da 
  subtrao e da diviso :::: 99
 10- Potenciao ::::::::::: 105
 11- Potenciao e raiz 
  quadrada :::::::::::::::::: 115

Segunda Parte

Captulo 2 -- Geometria
 1- Introduo ::::::::::::: 129
 2- ngulos :::::::::::::::: 147
 3- Polgonos: tringulos, 
  quadrilteros, 
  pentgonos... ::::::::::::: 166
 4- Estudando algumas 
  figuras geomtricas 
  planas :::::::::::::::::::: 174
 Quebra-cabea: ao sobre 
  composio e decomposio 
  de figuras planas ::::::::: 184
 Construindo caixas com forma 
  de paraleleppedo e de 
  pirmide: ao sobre 
  figuras geomtricas 
  espaciais ::::::::::::::::: 201
<P>
                              IX
 5- Estudando algumas 
  figuras geomtricas 
  espaciais ::::::::::::::::: 202
 6- Simetria axial ::::::::: 213
 Em busca do eixo: ao sobre 
  simetria :::::::::::::::::: 221

Terceira Parte

Captulo 3 -- Mltiplos e 
  divisores 
 1- Divisibilidade e 
  padres ::::::::::::::::::: 223
 2- Critrios de 
  divisibilidade :::::::::::: 231
 3- Os nmeros primos :::::: 246
 4- Decomposio em fatores 
  primos :::::::::::::::::::: 252
 5- Mltiplos e padres :::: 259
 Pim! Pam! Pum!: ao sobre 
  mltiplos ::::::::::::::::: 269
 6- Mnimo mltiplo 
  comum ::::::::::::::::::::: 270
 7- Clculo prtico e 
  clculo mental do mmc ::::: 275
 8- Divisores e o mximo 
  divisor comum ::::::::::::: 284
 9- Problemas envolvendo 
  divisores e mltiplos ::::: 290

Quarta Parte

Captulo 4 -- Fraes e 
  decimais 
 1- As fraes mais comuns: 
  meios, teras e quartas 
  partes :::::::::::::::::::: 297
 2- Fraes: a generalidade 
  e as porcentagens ::::::::: 310
 3- Fraes equivalentes e 
  simplificao ::::::::::::: 329
 4- Nmeros racionais :::::: 341
 5- Nmeros decimais ::::::: 350
 6- Comparao de nmeros 
  decimais :::::::::::::::::: 362
 7- Usos dos nmeros 
  decimais :::::::::::::::::: 371
 8- Escrevendo fraes como 
  nmeros decimais :::::::::: 380
<P>
                              XI
 Quinta Parte

Captulo 5 -- Operaes 
  com nmeros racionais 
 1- Adio e subtrao de 
  fraes ::::::::::::::::::: 389
 2- Multiplicao de 
  fraes ::::::::::::::::::: 400
 3- Diviso de fraes ::::: 409
 4- Adio e subtrao de
  nmeros decimais :::::::::: 418
 Chegue bem pertinho: ao 
  sobre nmeros decimais :::: 428
 5- Multiplicao de nmeros 
  decimais :::::::::::::::::: 430
 Tiro ao alvo: ao sobre 
  multiplicao de 
  decimais :::::::::::::::::: 446
 6- Diviso de nmeros 
  decimais :::::::::::::::::: 447

Captulo 6 -- Tratamento 
  de dados 
 1- Organizao e 
  apresentao de dados ::::: 457
 2- Mdia aritmtica e 
  porcentagens :::::::::::::: 477
 Nmeros de minha turma: ao 
  sobre mdias e 
  porcentagens :::::::::::::: 492

Sexta Parte

Captulo 7 -- Medidas 
 1- Comprimento :::::::::::: 495
 Vamos medir?: ao sobre 
  medidas de comprimento :::: 504
 2- Unidades de medida de 
  comprimento ::::::::::::::: 505
 3- rea ::::::::::::::::::: 517
 4- Volume ::::::::::::::::: 532
 5- Capacidade ::::::::::::: 538
 6- Massa de um corpo :::::: 550
 Quantos quilos? Quantos 
  gramas?: ao sobre medidas 
  de massa :::::::::::::::::: 557
 7- Medindo o tempo :::::::: 559

Stima Parte

Respostas das 
  Atividades ::::::::::::::: 575
 Sugestes de leitura ::::::: 635
<R->
<P>
                            XIII
Como usar o livro

  Nesta obra, cada captulo  formado de pequenos tpicos e tem, em geral, a seguinte estrutura:

Teoria 

  Para ser lida pelos alunos, individualmente ou em grupo.

Atividades 

  So motivadoras e envolvem muitas situaes do dia a dia, sem artificialidade. No 6 e no 7 anos, algumas das atividades trazem ajuda para o aluno, levando-o a ler e a tomar decises autnomas. No 8 e 9 anos, algumas vm resolvidas, cumprindo a mesma funo.

Pensando em casa 

  Para repassar o contedo do tpico sem repetir o que foi feito em aula. As atividades solicitam raciocnio e intuio do aluno. 
  A critrio do professor, algumas atividades podem ser feitas em aula.

Desafios e surpresas

  So atividades curiosas ou que pedem uma soluo mais criativa. No incio,  comum os alunos encontrarem dificuldades, mas elas sero superadas com trocas de ideias.  preciso dar tempo para que os alunos tentem, por si, resolver essas questes.

Ao 

  So sugestes de atividades, jogos, experimentos e trabalhos que solicitam uma participao ativa dos alunos. 
  Durante a ao,  comum ocorrer uma certa agitao na sala de aula, mas isso ajudar os alunos a se envolverem mais com a atividade. 
                              XV
  As aes podem ser adaptadas pelos professores ou pelos alunos. Se for um jogo, poder ter uma regra alterada para torn-lo mais emocionante, mais rpido etc. As aes devem ser preparadas com antecedncia, pois algumas solicitam materiais especficos.

<P>
<P>
                            XVII
 Nota de Transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, das seguintes maneiras: 
<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero." 
 Exemplo: #:d (trs quartos).
 B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256)  
 Exemplo: 34 (trs quartos). 
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos `(5#bef`) ~
 Exemplo: #:d~5 (trs quartos sobre cinco).
<R->
  Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.

<7>
<tmat. medida c. 6>
<T+1>
Captulo 1 -- Nmeros naturais, 
  operaes e resoluo de 
  problemas

<8>
1- Nmeros naturais

  Voc j deve ter tido contato com diversos tipos de nmeros: fracionrios (como #;c ou 7,5), negativos (como -4), inteiros (como 3 ou 5). Aqui, vamos estudar os nmeros que so inteiros e no negativos, chamados nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante.
  Voc j sabe bastante sobre eles. Por isso, vamos recordar apenas alguns fatos.

Escrita e leitura

  Escrevemos os nmeros usando os algarismos de 0 a 9. Tambm podemos escrev-los com palavras, por extenso.  dessa maneira, com palavras, que os lemos.
<P>
  Por exemplo:
<R+>
  4.037 se l quatro mil e trinta e sete;
  10.002 se l dez mil e dois.
<R->
  Usamos quatro algarismos para escrever 4.037; por isso, dizemos que ele  um nmero de quatro algarismos. J o nmero 10.002 tem cinco algarismos.

Uma escrita diferente

  Para facilitar a leitura de nmeros naturais maiores que 1.000, a mdia costuma apresent-los de forma abreviada, usando uma vrgula. Veja um exemplo:

  O ritmo de crescimento da populao mundial vem diminuindo. Na metade da dcada de 1990, ela aumentava 82 milhes ao ano. Em 2004, com 6,4 bilhes de pessoas, so 76 milhes a mais cada ano.

*Almanaque Abril*, So Paulo: 
  Abril, 2008, p. 116.
<P>
  6,4 bilhes so 6 bilhes e um pouco mais. Sabendo que 6 bilhes se escreve 6.000.000.000, voc deve perceber que 6,4 bilhes se escreve como 6.400.000.000, ou seja, 6,4 bilhes correspondem a seis bilhes e quatrocentos milhes.

Comparao

  Voc j sabe comparar dois nmeros naturais. Por exemplo:
<R+>
  Comparando 3 e 4 temos:
  34 (trs  menor que quatro).
<9>
  Comparando 10.000 e 8.001 temos:
  10.000o8.001 (dez mil  maior que oito mil e um).
  Comparando 14 e o dobro de 7, que  2"7, temos:
  14=2"7 (quatorze  igual ao dobro de sete).
<R->
<P>
Ordem

  Podemos colocar todos os nmeros naturais em ordem crescente, do menor para o maior: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc.
  Nessa sequncia, dois ou mais nmeros seguidos so chamados de consecutivos. Por exemplo: 32, 33 e 34 so nmeros consecutivos.
  Agora, considere dois nmeros consecutivos como 99 e 100. Dizemos que 99  antecessor de 100, ou que 100  sucessor de 99.
  Como todo nmero natural tem seu sucessor, percebemos que existem infinitos nmeros naturais. Para indicar isso, usamos reticncias quando escrevemos a sequncia dos naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
<P>
Atividades

<R+>
1. Escreva com algarismos:
 a) cem mil e dois.
 b) quatro milhes, trezentos e quinze mil e vinte.

2. _`[{notcia de um jornal_`] 
<R->

Boa notcia

Gripe, idosos e economia

  A campanha de vacinao contra a gripe para pessoas acima de 60 anos atingiu neste ano 13,1 milhes de idosos, o que equivale a 84% do pblico-alvo.

<R+>
Disponvel em: ~,http:portal.~
  saude.gov.brsaude~, 
  Acesso em: 20 out. 2008.

  Leia a notcia. Depois, escreva o nmero 13,1 milhes:
 a) s com algarismos;
 b) como se l.

3. Diga quais so as sentenas verdadeiras.
 a) 4.015o4.000
 b) 6.7926.700
 c) 78=2"39
 d) 1.000.0151.000.007

4. Considere todos os nmeros naturais de trs algarismos diferentes, formados por 2, 3 e 4. Responda:
 a) Quais comeam por 2?
 b) Quais comeam por 3?
 c) Quais comeam por 4?
 d) Quantos so no total?

5. Existem quatro nmeros naturais de dois algarismos, escritos com os algarismos 5 e 6. Quais so?

6. Faa tentativas e descubra quais so:
 a) os dois nmeros consecutivos que, somados, do 101;
 b) os dois nmeros consecutivos que, somados, do 535.

<10>
7. Escreva como se l cada um dos nmeros das informaes a seguir:

_`[{foto_`]
 Legenda: Trecho da Grande Muralha da China.

a) A Grande Muralha da China, uma das maravilhas do mundo, tem 3.460 km de extenso.
 b) O pico mais alto do mundo  o Everest, com 8.848 m de altura.
 c) A distncia de Salvador ao Rio de Janeiro, pela BR-101,  de 1.722 km.
 d) O Rio Amazonas  o segundo mais extenso do planeta, com 6.515 km.

8. Descubra quais so os dois nmeros naturais menores que 104 que tm 3 algarismos diferentes.
<P>
 9. Para escrever todos os nmeros naturais de 0 at 60, quantas vezes voc deve escrever o algarismo 5?

Pensando em casa

10. Em 2003, um jornal paulista informou:
<R->

  So 8,34 milhes de brasileiros que se alojam em 2,2 milhes de residncias totalmente inadequadas para moradia.

<R+>
*Folha de S. Paulo*, So 
  Paulo, 24 dez. 2003. p. C-1.

a) Escreva o nmero 8,34 milhes s com algarismos.
 b) Escreva como se l.
 c)  bom que esse nmero aumente ou diminua?

11. Escreva com algarismos:
 a) o antecessor de quatro mil e cem;
 b) o sucessor de nove mil novecentos e dezenove.

12. Escreva todos os nmeros naturais de trs algarismos diferentes formados por 0, 2 e 7. Ateno: 027  considerado um nmero de dois algarismos.
 13. Considere os nmeros naturais de trs algarismos formados por 1, 2 e 3, podendo repetir algarismos. Estes so os que comeam por 1: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133. Quantos so, no total, os naturais de trs algarismos formados por 1, 2 e 3?
 14. Quantos nmeros naturais podem ser escritos usando-se apenas o algarismo 5? Justifique sua resposta com exemplos.
 15. Descubra dois nmeros consecutivos que, somados, do 97.
<P>
16. Pense nos nmeros naturais que so escritos com trs algarismos diferentes e responda:
 a) Qual  o maior desses nmeros?
 b) Qual  o menor desses nmeros?

17. O dimetro de Mercrio  4.878 km; o da Terra, 12.756 km; o de Jpiter, 142.984 km; o de Marte, 6.786 km; e o de Vnus, 12.103 km. Coloque esses nmeros em ordem crescente.
  Ateno: A linha reta ^c?{a{b*, que passa pelo centro da esfera, _`[no adaptada_`]  um dimetro dela.

<F->
::::::::
A          B 
<F+>

18. Em cada caso, descubra qual  o nmero natural descrito.
 a)  maior que 51 e menor que 53.
<P>
 b)  maior que 200 e menor que 300, e seus algarismos so consecutivos, na ordem crescente.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<11>
2- Situaes que envolvem a 
  adio e a subtrao

Juntando, quanto d?

  Os dicionrios dizem que *adicionar* significa *juntar*, *somar* ou *reunir*. Na Matemtica, usamos a operao adio para juntar ou acrescentar quantidades.

Exemplo

  Tinha 45 bolinhas de gude e ganhei mais 36. Com quantas fiquei?
  Para acrescentar as 36 bolinhas que ganhei com as 45 que eu j tinha, efetuamos: 45+36=81
<P>
<F->
 45 -- parcela
+36 -- parcela
:::: 
 81 -- soma
<F+>

  Fiquei, portanto, com 81 bolinhas.

Tirando, quanto sobra?

  Os dicionrios dizem que *subtrair* significa *tirar*, *retirar*. Na Matemtica, a operao subtrao tambm  usada para tirar, retirar.

Exemplo

  Um criador tem 100 coelhos e vende 36. Com quantos coelhos ele fica?
  Para responder, tiramos 36 coelhos dos 100 coelhos: 100-36=64
<P>
<F->
100 -- minuendo
-36 -- subtraendo
::::
 64 -- diferena
<F+>

  Assim, o criador fica com 64 coelhos.

Quanto falta?

  A subtrao tambm  usada nas situaes em que temos uma quantidade e queremos saber quanto falta para se chegar a outra.

<12>
Exemplo

  J vimos 35 minutos de um filme que tem 90 minutos de durao. Quanto tempo falta para o filme acabar?
  Para saber quantos minutos faltam, tiramos de 90 a quantidade (35) que corresponde aos minutos passados: 90-35=55
<P>
<F->
 90 -- minuendo
-35 -- subtraendo
::::
 55 -- diferena
<F+>

  Faltam, portanto, 55 minutos de filme.

Quanto tem a mais?

  A subtrao tambm  usada nas situaes de comparao em que temos uma quantidade e queremos saber quanto ela tem a mais ou a menos que outra.

Exemplo

  Tenho 57 figurinhas e meu irmo tem 99. Quantas figurinhas ele tem a mais que eu?
  Para saber quantas figurinhas ele tem a mais, tiramos a quantidade que eu tenho (57) da quantidade que ele tem (99): 99-57=42
<P>
<F->
 99 -- minuendo
-57 -- subtraendo
:::: 
 42 -- diferena
<F+>

  Ento, meu irmo tem 42 figurinhas a mais que eu.

Atividades

<R+>
19. Esta figura foi copiada do cartaz de um nibus. Qual  a lotao mxima permitida nesse nibus?

_`[{figura: boneco representando uma pessoa sentada e ao lado dele o numeral 37; boneco representando uma pessoa em p e ao lado dele o numeral 46_`]

20. Uma empresa tem um escritrio e uma fbrica. No escritrio trabalham 375 pessoas e na fbrica, 5.439. Quantas pessoas trabalham na empresa?
<P>
 21. Voc est no quilmetro 380 da rodovia que liga Rio de 
  Janeiro a Salvador. Passar pelo quilmetro 395 e de l ainda percorrer 188 quilmetros antes de parar para descansar. Em que quilmetro da rodovia voc ir parar?
<13>
 22. Fui bater figurinhas. Sa de casa com 105 e logo fiquei com 38. Quantas eu preciso ganhar para recuperar as que perdi?

23. Luciano tinha R$122,00 e gastou R$89,00. Ele ainda pretende pagar R$45,00 que deve para a Mnica.
 a) Depois do gasto, com quanto Luciano ficou?
 b) Para pagar a Mnica, faltou ou sobrou dinheiro? Quanto?

24. Na adio a seguir, A, B e C so trs algarismos (as duas letras B representam o mesmo algarismo). Descubra as parcelas e a soma.
<F->
 B3
+5B
::::::
{a{c2
<F+>

25. Num fliperama, Dino, 
  Marcelo e Carla disputaram um torneio de trs partidas.

_`[{tabela formada por quatro colunas: competidor, partida 1, partida 2 e partida 3_`]

 Dino -- 12.060 -- 12.200 -- 11.580
 Marcelo -- 11.960 -- 11.900 -- 13.500
 Carla -- 8.020 -- 12.180 -- 14.590

  Diga quem venceria o torneio se eles tivessem combinado que:
 a) vence quem ganhar maior nmero de partidas;
 b) vence quem fizer o maior nmero de pontos numa s partida 
<P>
  (ou seja, desprezam-se os dois piores resultados);
 c) vence quem somar maior nmero de pontos nas trs partidas.

26. Considere uma adio em que as duas parcelas so nmeros de trs algarismos, e os seis algarismos dessas parcelas so todos diferentes. Qual  a maior soma que se pode obter? Quer uma ajuda? Faa um esquema para representar o problema.

{a{b{c+{d{e{f=...

  Para que a soma seja a maior possvel, que algarismo voc deve colocar nas centenas? Como os algarismos devem ser todos diferentes, que algarismos voc deve usar nas dezenas? Que algarismos sobraram para as unidades? Substitua as letras por nmeros e encontre a soma mxima.
 27. Qual  a menor soma que se pode obter numa adio em que as duas parcelas so nmeros de trs algarismos?
 28. Qual  a maior diferena que se pode encontrar quando sub-
  tramos um nmero de trs algarismos de outro nmero de trs algarismos?

Pensando em casa

29. Meu tio fez uma compra para pagar em trs parcelas: R$72,00 de entrada e mais duas prestaes de R$48,00 cada. No total, quanto ele pagou?

30. Na semana passada, de segunda a domingo, eu treinei da seguinte forma: corri 1.000 metros na segunda-feira; nos outros dias, corri sempre 200 metros a mais que no dia anterior.
 a) Quantos metros corri no 
  domingo?
 b) Quantos metros corri na 
  semana?
<P>
31. Para pagar R$267,00, dei  caixa trs notas de R$100,00. Ela ainda pediu R$17,00 para facilitar o troco, e eu dei.
 a) Quanto veio de troco?
 b) Quanto viria se eu no tivesse dado os R$17,00?

32. Voc  o caixa de uma loja. No momento, voc s tem notas de R$50,00 e de R$100,00. Uma pessoa est pagando uma conta de R$82,00 com uma nota de R$100,00. Quanto voc ainda deve pedir a ela para que o troco seja de R$50,00?

<14>
33. Existem quatro adies de dois nmeros naturais com soma 3:

<F->
0+3=3
1+2=3
2+1=3
3+0=3
<F+>
<P>
  Quantas so as adies de dois nmeros naturais com soma:
 a) 4? 
 b) 7? 
 c) 10? 
 d) 527?

34. Quantas so as subtraes de dois nmeros naturais com diferena 3?
 35. A figura mostra duas rotas para uma viagem de automvel So Paulo-Salvador: uma pelo interior, e outra pelo litoral.

_`[{duas rotas adaptadas_`]

Rota pelo interior
 Legenda:
 1- So Paulo
 2- Barra Mansa
 3- Feira de Santana
 4- Salvador
 A- 304
 B- 1.531
<P>
 C- 16
 D- 97

<F->
  A   B   C   D
::::::::::::
1   2   3        4
<F+>

Rota pelo litoral
 Legenda:
 1- So Paulo
 2- Santos
 3- Rio de Janeiro
 4- Salvador
 E- 72
 F- 511
 G- 1.605
 H- 97

<F->
  E   F   G   H
::::::::::::
1   2   3        4
<F+>

  As letras maisculas indicam quantos quilmetros tem cada trecho.
  A viagem pelo litoral  mais curta ou mais comprida que a outra? 
<P>
  A diferena  de quantos quilmetros?
 36. Considere uma adio em que as duas parcelas so nmeros de trs algarismos, e os seis algarismos dessas parcelas so todos diferentes. Qual  a menor soma que se pode obter? (Ateno com o algarismo zero!)
 37. Qual  a diferena entre o maior nmero de trs algarismos e o menor nmero de trs algarismos?

38. Temos um nmero de quatro algarismos e outro de dois, e esses seis algarismos so todos diferentes.
 a) Qual  a maior soma que os dois nmeros podem ter?
 b) Qual  a menor soma que os dois nmeros podem ter?
 c) Qual  a maior diferena que os dois nmeros podem ter?
 d) Qual  a menor diferena que os dois nmeros podem ter?
<P>
Desafios e surpresas

1. Uma classe de 26 alunos est escolhendo seu representante. Os candidatos so Andreia e Vtor. No momento, Andreia tem 12 votos, Vtor tem 7, houve 3 votos nulos e restam alguns votos para serem apurados. Vtor ainda pode vencer? Por qu?
 2. Na subtrao a seguir, descubra os valores dos algarismos A, B e C.

<F->
 4{a{b
-{c{c9
:::::::
 {c{c4
<F+>

3. Considere uma subtrao em que o minuendo e o subtraendo so nmeros de trs algarismos, e os seis algarismos so todos diferentes. Diga qual  a maior diferena que se pode obter. (Ateno com o algarismo zero!)
 4. Considere uma subtrao em que o minuendo e o subtraendo so nmeros de trs algarismos, e os seis algarismos so todos diferentes. Diga qual  a menor diferena que se pode obter.
<R->

<15>
Ao sobre operao inversa

Esconde-esconde

  O professor pede que um aluno saia da classe. Pede que outro aluno faa uma adio, com os nmeros que quiser, na lousa.
  O aluno que est na lousa esconde uma das parcelas com uma folha de papel e o aluno que saiu  chamado de volta: ele deve descobrir qual  o nmero escondido. Como? Ele  quem sabe... S no vale levantar a folha.

<R+>
_`[{figura: um menino esconde, com uma folha de papel, a 2 parcela da adio a seguir: 132+'''=368_`]
<R->

  A ao pode ser repetida com outros alunos, ou com regras que a tornem mais difcil.

               ::::::::::::::::::::::::

<16>
3- Adio e subtrao: operaes 
  inversas

  As adies podem ser efetuadas numa semirreta. Por exemplo, para somar 5 com 4, comece no ponto que representa o nmero 5 e avance 4 unidades para a direita. Assim, voc chegar ao ponto que representa 9.

<F->
r::w::w::w::::w::w::w::::w::>
1 2 3 4 5  6 7 8 9  10

5+4=9
<F+>

  Veja agora uma subtrao.
  Para efetuar 6-2, comece no ponto que representa o nmero 6 e volte duas unidades para a esquer-
<P>
da. Assim, voc chegar ao ponto que representa 4.

<F->
r::w::w::o::w::o::w::w::w::w::>
1 2 3 4  5 6  7 8 9 10

6-2=4
<F+>

A operao inversa da adio  a 
  subtrao

  Na semirreta, somar 3  avanar 3.

<F->
r::w::w::o::w::w::o::w::w::w::>
1 2 3 4  5 6 7  8 9 10

4+3=7
<F+>

  Subtrair 3  voltar 3.

<F->
r::r::r::o::r::r::o::r::r::r::>
1 2 3 4  5 6 7  8 9 10

7-3=4
<F+>
<P>
  Quando somamos 3 e depois subtramos 3, voltamos ao ponto de partida.

<F->
r::w::w::o::w::w::o::w::w::w::>
1 2 3 4  5 6 7  8 9 10

4+3=7
7-3=4
<F+>
 
  Por isso dizemos que a adio e a subtrao so operaes inversas.

<17>
Em que nmero pensei?

  Pensei em um nmero, somei 15 e obtive 70. Em que nmero pensei? Veja:

<F->
::r:::::w::>
        70
<F+>

  No caminho inverso, em vez de somar 15, devemos subtrair 15. 
<P>
Fazendo o caminho inverso, encontramos o nmero pensado.

<F->
::r::::w::>
       70
<F+>

70-15=55

  Pensei no nmero 55. Vamos conferir?

55+15=70

Atividades

<R+>
39. Veja na semirreta as idades de F e Ana Cludia. Quantos anos Ana Cludia tem a mais que F?

A. F -- 12 anos
 B. Ana Cludia -- 18 anos

<F->
 A   B
::r::::r::>
<F+>
<P>
40. Veja na semirreta os anos em que se iniciaram as duas guerras mundiais. Quantos anos se passaram entre a Primeira e a Segunda Guerra?

A. 1 Guerra Mundial -- 1914
 B. 2 Guerra Mundial -- 1939

<F->
 A   B
::r::::r::>
<F+>

41. Resolva os problemas.
 a) Joca fez 12 anos em 1987. Em que ano ele nasceu? Sugesto: Marque as idades do Joca numa semirreta como a seguir.

A. nasceu
 B. 12 anos

<F->
 A     B
::r::::::r:::>
  ...    1987      
<F+>

1987-'''='''
<P>
  Agora j d para descobrir em que ano ele nasceu, no ? Faa a conta.
<18>
 b) Nena nasceu em 1987. Quando ela far 25 anos? Sugesto: Marque as idades de Nena numa semirreta.

A. nasceu
 B. 25 anos

<F->
 A     B
::w::::::r:::>
  1987  ...   
<F+>

1987+25='''

  O restante  com voc.

42. Quantos anos voc ter no ano 2013? E em que ano voc far 40 anos?
<P>
 43. Na semirreta esto representadas as idades de Joo e 
  Maria:

 A. Maria -- 12 anos
 B. Joo -- 21 anos

<F->
 A     B
::r::::::r::>
<F+>

  Qual ser a idade de Joo quando Maria tiver 33 anos?

44. Quanto vale ...?
 a) 381+...=918
 b) ...+94=244

45. Numa adio, uma parcela  2.177 e a soma  3.840. Qual  a outra parcela?
 46. Numa subtrao, o minuendo  755 e a diferena  383. Qual  o subtraendo?
 47. A figura seguinte tem 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais. Em todas elas, a soma dos trs nmeros sempre deve ser igual a 
<P>
  18. Nos lugares onde se tem ..., que nmeros devo escrever?

<F->
!:::::::::::::::
l 3  _ ... _ ... _
r:::::w:::::w:::::w
l 8  _ 6  _ ... _
r:::::w:::::w:::::w
l ... _ ... _ ... _
h:::::j:::::j:::::j
<F+>

48. As cidades A, B e C ficam  beira de uma estrada. De A at B, so 127 quilmetros; de A at C, so 85 quilmetros. Calcule quantos so os quilmetros de B at C, sabendo que a cidade C fica entre A e B. Quer uma ajuda? Se voc representar as cidades na semirreta, ficar mais fcil entender o problema. Depois de percorrer 85 km, quanto falta para chegar aos 127 km?

<P>
49. As cidades D, E e F ficam  beira de uma estrada. De D at E so 355 quilmetros; de E at F, so 413 quilmetros. Calcule quantos so os quilmetros de D at F, nestes casos:
 a) a cidade D fica entre E e F;
 b) a cidade E fica entre D e F.

<19>
Pensando em casa

50. Um caminhoneiro est voltando para casa. Veja na semirreta a representao do quilmetro da estrada onde ele se encontra e a do quilmetro do local de sua casa.

A. onde ele est
 B. casa

<F->
 A     B
::w::::::w::>
  218   305
<F+>
<P>
  Quantos quilmetros o caminhoneiro ainda ter de percorrer at chegar a sua casa?
 51. Roseli tem 7 anos a mais que Luciana e 8 a menos que Fernanda. Represente as idades delas numa semirreta e, depois, responda: quantos anos Fernanda tem a mais que Luciana?
 52. Bete tem 7 anos a mais que Gabriela, que tem 8 anos a menos que Jlia. Represente as idades delas numa semirreta e, depois, responda: qual  a diferena entre as idades de Bete e de Jlia? Qual das duas  a mais velha?
 53. Uma adio tem trs parcelas. Uma  128. Outra  315. A terceira voc deve descobrir, sabendo que a soma  600.
 54. Numa subtrao, o subtraendo  721 e a diferena  299. Qual  o minuendo?
<P>
 55. No visor da minha calculadora cabem nmeros de at 8 algarismos. Peguei a calculadora e coloquei no visor o maior nmero possvel. Desse nmero, subtra outro. O visor indicou que a diferena era de 12.345.678. Que nmero eu subtra?

56. Quanto vale ...?
 a) ...+117=302
 b) ...-117=302

57. Ana tem 6 anos a mais que Bia, e Carla tem 15 anos a menos que Denise, que tem 8 anos a mais que Ana. Carla  mais nova do que Ana? Quantos anos?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<20>
<P>
4- Situaes que envolvem a 
  multiplicao

Somando parcelas iguais

  *Multi* significa *muitos* ou *muitas vezes*. Na Matemtica, usamos frequentemente a operao multiplicao para somar muitas vezes o mesmo nmero.

Exemplo

  Cada estojo tem 12 lpis de cor. Quantos lpis h em 7 desses estojos? Vamos calcular o nmero total dos lpis.

<F->
 12 -- fator
 "7 -- fator
::::
 84 -- produto
<F+>

  Temos, portanto, 84 lpis de cor.
<P>
A organizao retangular

  Quantos quadrados temos aqui?

<F->
g g g g g g g g g g g g g
g g g g g g g g g g g g g
g g g g g g g g g g g g g
g g g g g g g g g g g g g
<F+>

  Quando temos objetos arrumados em linhas e colunas numa organizao retangular, podemos usar uma multiplicao para calcular o total de objetos.
  Conte: numa linha, h 13 quadrados. Nas 4 linhas, o nmero total de quadrados :

<F->
 13 -- fator
 "4 -- fator
:::::::
 52 -- produto
<F+>

  So, portanto, 52 quadrados.

<21>
<P>
De quantos modos?

  Uma moa tem 3 saias e 4 blusas. De quantos modos diferentes ela pode se vestir usando uma dessas saias e uma dessas blusas?
  Cada saia pode ser vestida com 4 blusas. Como ela tem 3 saias, efetuamos: 3"4=12
  Portanto, a moa pode usar suas saias e blusas de 12 modos diferentes.
  Esse  um problema de combinatria (no caso, combina saias e blusas). Os problemas de combinatria costumam ser indicados com a pergunta: De quantos modos?. Muitos desses problemas se resolvem com a multiplicao.

A proporcionalidade

  Na doaria Sabor doce podem-se comprar bombons em pacotes com 3 unidades por 2 reais ou em 
<P>
caixas com 12, que custam 7 reais cada. Em qual opo paga-se menos?

<F->
bombons   l preo em reais
::::::::::r::::::::::::::::
  3      l 2
  12     l 8
3"4=12 l 2"4=8
<F+>

  Ao quadruplicarmos a quantidade de bombons, ou seja, ao multiplicarmos a quantidade de bombons por 4, imaginamos que o preo tambm deva ser multiplicado por 4, mantendo assim a proporcionalidade entre a quantidade de bombons e seu respectivo preo.
  Portanto, paga-se menos levando-se 12 bombons por 7 reais.

Lembrete

<R+>
 Nas multiplicaes por 2, 3, 4, 5 e 6, usamos nomes especiais:
<P>
_`[{quadro com trs colunas: expresso, significado e exemplo_`]

 dobro de -- 2 vezes -- dobro de 6=2"6=12
 triplo de -- 3 vezes -- triplo de 17=3"17=51
 qudruplo de -- 4 vezes -- qudruplo de 10=4"10=40
 quntuplo de -- 5 vezes -- quntuplo de 13=5"13=65
 sxtuplo de -- 6 vezes -- sxtuplo de 20=6"20=120

 Voc j conhece o sinal *"* usado na multiplicao, mas pode-se tambm usar um ponto *'* para indic-la.
  Por exemplo: 3"7=3.7=21
  Daqui em diante, daremos preferncia ao ponto trs. 
<R->

<22>
<P>
Atividades

<R+>
58. Que economia se faz ao comprar a caixa com 1 quilo de bombons?

_`[{numa prateleira de supermercado, uma embalagem de bombons custa R$4,50 e uma caixa de bombons, R$16,00_`]

59. Um caderno de 160 pginas tem 28 linhas por pgina. Quantas linhas tem esse caderno?

60. Na calculadora:
 a) Calcule a soma digitando o menor nmero de teclas possvel.
  238+238+238+238+238+238+
  +238+238+238+238
  Dessa vez, os clculos podem ultrapassar o nmero de dgitos de sua calculadora, mas os resultados sero surpreendentes:
 b) 27'12345679
 c) 12345679'36

61. Uma banana leva 4 dias para amadurecer no cacho. Quanto tempo 7 bananas do mesmo cacho levam para amadurecer?
 62. Um *videogame* de *kung fu* tem dois comandos. Cada comando tem quatro posies: para a frente, para trs,  esquerda e  direita. Por exemplo: quando o comando da mo esquerda est para a frente e o outro est para a esquerda, aplica-se este golpe: chute-no-alto-de-lado. De quantos modos podem ser combinados os movimentos dos dois comandos para a aplicao dos diferentes golpes?

63. Numa gaveta h 13 notas de R$10,00, 6 notas de R$50,00 e 8 notas de R$100,00. Uma pessoa vai tirar 17 notas da gaveta, sem olhar.
 a) Qual  o valor mximo que ela poder pegar?
 b) E o valor mnimo?

Pensando em casa

64. _`[{use a calculadora_`] Calcule a economia em reais, em cada caso.

_`[{figura: panfleto comercial_`]

Em suaves prestaes
<R->
  Veja quanto economiza quem prefere o consrcio ao financiamento.

<R+>
*Carro*
 Financiado: 36"1.500+9.740 de entrada
 Consrcio: 36"1.755
 Economia de ''' reais

*Viagem de dezenove dias* 
  (Egito, Israel e Grcia)
 Financiado: 12"690
 Consrcio: 12"636
 Economia de ''' reais
<P>
*Barco* (7 metros, motor 250 HP)
 Financiado: 36"3.062+30.000 de entrada
 Consrcio: 36"3.259
 Economia de ''' reais 

*Veja*. So Paulo: Abril, 17 mar. 2001, p. 116.

65. Diga quantas voltas d por dia cada um desses ponteiros de um relgio:
 a) o ponteiro menor, que indica as horas;
 b) o ponteiro dos minutos;
 c) o ponteiro dos segundos.

66. Num trem de 8 vages, cada vago tem 28 poltronas de dois lugares cada uma. Alm disso, permite-se que, em cada vago, at 20 pessoas viajem em p. Qual  a lotao mxima permitida nesse trem?
<23>
<P>
 67. O desenho mostra a planta de um pequeno teatro. Quantas poltronas h nesse teatro?

_`[{desenho adaptado_`]
 A- bilheteria
 - poltronas
 B- palco

<F->
!::::
l A _
h::::j

             
             
             
             
             
             
             
             
             

!::::
l B _
h::::j
<F+>
<P>
68. Para ir  cidade, dona 
  Lusa sempre passa na casa de Lilica.

_`[{figura: da casa de dona Lusa  casa de Lilica existem as estradas A, B, C, D; da casa de Lilica  cidade, as estradas 1, 2, 3, 4 e 5_`]

  Ela pode ir por vrios caminhos para a cidade. Um deles  pegar a estrada A e depois 1 (caminho A1); o outro  percorrer B e depois 1 (caminho B1) etc.
 a) Indique todos os caminhos da casa da dona Lusa  cidade que passam por A.
 b) Indique todos os caminhos da casa da dona Lusa  cidade que passam por B.
 c) Quantos so os caminhos da casa da dona Lusa  cidade?
<P>
69. O caixa de um banco tem em sua gaveta 25 notas de R$50,00, 40 notas de R$10,00 e 40 notas de R$5,00. Uma pessoa est apresentando um cheque de R$1.485,00 e o caixa ir pagar essa quantia a ela.
 a) No mnimo, quantas notas a pessoa receber?
 b) E no mximo?

70. Um diretor de cinema criou um ser extraterrestre para seu prximo filme: no brao esquerdo, ele tem 3 mos com 7 dedos cada uma, no direito, tem 4 mos com 5 dedos cada uma. Esse ser usa 3 anis em cada dedo das mos esquerdas e 2 anis em cada dedo das mos direitas. Quantos anis usa esse simptico extraterrestre?

Desafios e surpresas

5. Uma esforada lesminha sobe um muro para encontrar seu namorado, que mora do outro lado, ao p do muro. A lesminha sobe 50 centmetros por hora e a descansa uma hora, quando escorrega 40 centmetros. O muro tem 180 centmetros de altura.
 a) Quantas horas a lesminha vai demorar para chegar ao topo do muro?
 b) Aps chegar ao topo, ela comea a descer, mas, agora, apenas escorrega. Quanto tempo ela leva para chegar ao cho?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<24>
5- Situaes que envolvem a 
  diviso

Repartir em partes iguais

  Os dicionrios dizem que *dividir* significa *partir*, *repartir*. Na Matemtica, a operao diviso costuma ser usada para repartir, mas repartir em partes iguais.

Exemplos

<R+>
1. Comprei 60 papis de carta e quero distribu-los igualmente entre minhas 4 irms. Quantos papis cada uma receber?
<R->

604=15 resto 0
 60 -- dividendo
 4 -- divisor
 15 -- quociente
 0 -- resto
  Essa diviso  uma diviso exata: tem resto 0.
  Cada uma receber 15 papis de carta.

<R+>
2. Comprei 62 papis de carta e quero distribu-los igualmente entre minhas 4 irms. Quantos papis cada uma receber?
<R->

624=15 resto 2
 62 -- dividendo
 4 -- divisor
 15 -- quociente
 2 -- resto
<P>
  Essa  uma diviso com resto: posso dar 15 papis a cada uma, mas iro sobrar 2 papis.

Quantas vezes cabe?

  A diviso tambm  usada quando se quer saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra.

Exemplo

  Minha classe tem 27 alunos e queremos formar grupos de 3 alunos. Quantos grupos sero formados?

273=9 resto =0

  Sero formados 9 grupos.

<25>
Atividades

<R+>
71. Colocando 500 refrigerantes em caixas de 24 unidades, teremos certo nmero de caixas completas e mais uma, incompleta.
 a) Quantas sero as caixas completas?
 b) Quantos sero os refrigerantes na caixa incompleta?
 c) Se fossem 504 refrigerantes, as caixas estariam todas completas. Quantas caixas seriam?

72. No dia a dia  comum voc precisar do resultado aproximado de um clculo, mas no do valor exato. Por exemplo, ao comprar um televisor de 2.000 reais em 6 prestaes, uma pessoa pode querer apenas estimar o valor da prestao para verificar se cabe em seu oramento. Como 6'300=
  =1.800 e 6'400=2.400, percebe-se que o valor  mais prximo de 300 reais que de 400 reais, o que d uma ideia de quanto se vai gastar.
  Nas questes seguintes no faa clculos. Faa apenas estimativas. Copie e complete as sentenas, escolhendo uma das trs possibilidades oferecidas.
<P>
 a) O quociente de 73521  aproximadamente ... (10, 35 ou 50).
 b) O quociente de 1.90012  aproximadamente ... (19, 50 ou 150).
 c) O quociente de 4.32020  aproximadamente ... (20, 200 ou 400).
 d) O quociente de 5.65070  aproximadamente ... (18, 8 ou 80).
 e) O quociente de 11.930300  aproximadamente ... (4, 40 ou 140).
 f) O quociente de 12.50040  aproximadamente ... (3, 30 ou 300).

73. _`[{use a calculadora_`] A densidade demogrfica de um territrio  o quociente da diviso entre o nmero de habitantes e a rea do territrio.  como se os habitantes fossem distribudos igualmente pelo territrio. O grfico a seguir mostra a densidade demogrfica dos continentes mais povoados. Voc v, por exemplo, que na Europa viviam mais de 70 (talvez 71 ou 72) habitantes por quilmetro quadrado em 2004. No ano de 2004, o 
  Brasil tinha cerca de 180 milhes de habitantes em um territrio de 8.514.205 quilmetros quadrados. Para esse ano de 2004:
 a) Calcule aproximadamente a densidade demogrfica do 
  Brasil. (Na calculadora comum no cabe o nmero 180 milhes, mas voc pode trabalhar com 18 milhes e depois ajeitar o resultado.)
 b) Compare a densidade demogrfica do Brasil com a mdia do continente.

_`[{grfico "Densidade demogrfica (hab./km2 -- 2004)", adaptado_`]
 Legenda:
 A- frica
 B- Amrica do Norte
 C- Amrica Central
 D- Amrica do Sul
 E- sia
 F- Europa
     
<F->
     l                     
     l                     
120 l                      
     l                     
100 r:::::::::==            
     l                     
 80 r:::::::::::::::==  
     v-------------------      
 60 l                 
     l                 
 40 l                 
     r:==              
 20 r:::::::::==    
     pccc        
  0 l            
     h::::::::::::::::::::::::: 
       A  B  C  D  E  F   
<F+>

*Almanaque Abril*. So Paulo: Abril, 2005. p. 122.

<26>
74. Faa uma estimativa e responda qual  a melhor opo.
 a) Voc viveu at agora menos de 1.000 dias.
 b) Voc viveu at agora aproximadamente 4.000 dias.
 c) Voc j viveu at agora pelo menos 5.000 dias.
  Com uma calculadora, voc poder verificar se sua estimativa estava correta.

75. Numa loja, Ana e Maura compraram uma TV por R$380,00. Elas iam dividir igualmente essa despesa, mas 
  Ana lembrou que estava devendo R$70,00 para Maura. Para acertarem a dvida, quanto cada uma deve pagar na loja?

Pensando em casa

76. Numa pista de atletismo, uma volta tem 400 metros. Numa corrida de 10.000 metros, quantas voltas cada atleta tem de dar?
<P>
77. Uma corrida de 1.500 metros ser realizada numa pista que tem 400 metros. Os atletas daro um certo nmero de voltas e ainda percorrero o trecho indicado em amarelo.

_`[{pista adaptada_`]
 Legenda:
 A -- partida
 B -- chegada
 am -- amarelo

<F->
        am
!::::r:::::::r:::::
l   A      B     _
l                  _
l                  _
h::::::::::::::::::j
<F+>

a) Quantas voltas completas cada atleta ter de dar?
 b) Quantos metros tem o trecho indicado em amarelo?

78. Mariana ficou responsvel pela compra dos livros de Matemtica de alguns alunos. Cada aluno colocou o nome numa lista e pagou o valor do livro: R$32,00. Chegando  livraria, Mariana viu que tinha se esquecido de levar a lista. Primeiro, ela contou o dinheiro dos livros (inclusive o seu): deu R$864,00. Depois, ela fez uma conta e descobriu quantos livros devia comprar. Quantos eram?
 79. Os 290 alunos da escola em que Beto estuda vo fazer um passeio ao zoolgico. O transporte ser em nibus escolares com 36 lugares cada um. Trs professoras tambm iro, para cuidar da garotada. Quantos nibus escolares sero necessrios para o passeio?

<27>
80. Jak, Marcelo e Marlia foram jantar num restaurante. A conta de R$55,50 foi repartida igualmente pelos trs amigos. Faa uma estimativa de quanto cada um pagou:
<P>
 a) R$16,50
 b) R$14,50
 c) R$18,50
  Confirme se sua estimativa est correta, usando uma calculadora.

81. Quando batiam figurinhas, Danilo e seu irmo brigaram. Nessa hora, Danilo tinha 121 figurinhas e seu irmo tinha 67. A briga terminou com a interferncia da me:
  -- Dividam as figurinhas e fim!
  Para os dois ficarem com a mesma quantidade, quantas figurinhas Danilo deve dar a seu irmo?
 82. Uma pilha tem 100 caixas, e um carregador vai lev-las para um local distante 50 metros de onde elas esto.
  Ele carrega 4 caixas por vez. Comeando e terminando seu percurso no local da pilha inicial, quantos metros andar esse carregador para fazer o seu servio?

Desafios e surpresas

6. A luz percorre 300.000 quilmetros a cada segundo. A distncia entre o Sol e a Terra  de 150.000.000 de quilmetros.
 a) Quantos segundos a luz do Sol leva para chegar  Terra?
 b) Esse tempo corresponde a um certo nmero de minutos, mais alguns segundos. Quantos so esses minutos e segundos?

7. Temos aqui um tabuleiro de cartolina, formado por qua-
  drados de mesmo tamanho. Usando as linhas da figura, voc deve repartir o tabuleiro em trs partes iguais. Desenhe a soluo obtida.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<28>
<P>
Ao sobre algoritmos

Decifre o clculo

  Isa fez uma multiplicao de um jeito muito esquisito. Depois, ela mostrou o clculo para 
 Estvo.

<R+>
_`[{estvo pensa: "Como ser que ela multiplicou?". Depois de um tempo o menino diz: "J sei! Para multiplicar por 15, ela multiplicou por 5 e depois multiplicou o resultado por 3." Na folha do clculo de Isa, estava a seguinte multiplicao: 32"5=160, 160"3=480_`]
<R->

  Estvo decifrou o clculo e explicou como ele foi feito. Vamos ento fazer o mesmo.
  A classe deve ser dividida em grupos de 4 alunos e cada grupo deve decifrar estes clculos:
<P>
<F->
 120
 "30
:::::::
 1.200
+1.200 
 1.200
:::::::
 3.600

1.6478=200
8"200=1.600
1.647-1.600=47
478=5
8"5=40
47-40=7
200+5=205
1.6478=205 resto 7

 35
 "9
::::::
 350
 -35
::::::
 315
<F+>

  Depois, em cada grupo, dois dos alunos faro um clculo de um jeito diferente. ( preciso usar a imaginao!) O clculo ser registrado no papel e entregue aos outros dois elementos do grupo, que devero decifr-lo.

               ::::::::::::::::::::::::

<29>
6- Multiplicao e diviso: 
  operaes inversas

A operao inversa da 
  multiplicao  a diviso

  Quando multiplicamos um nmero por 7 e, depois, dividimos por 7, voltamos ao ponto de partida.

5"7=35
 357=5

  Por isso, dizemos que a multiplicao e a diviso exata so operaes inversas.
<P>
Em que nmero pensei?

  Pensei em um nmero e multipliquei-o por 12. Obtive 204. Em que nmero pensei? Veja: ..."12=204
  Para encontrar o nmero do qual partimos, fazemos o caminho inverso: em vez de multiplicar por 12, devemos dividir por 12. 20412=...
  Pensei no nmero 17. Vamos conferir? 17"12=204

<30>
Relaes entre dividendo, 
  divisor, quociente e resto

Em toda diviso se tem:
<R+>
  resto  divisor
  quociente ' divisor + resto = 
  dividendo

Exemplos

1. 385=7 resto 3
  35
  7'5+3=35+3=38
<P>
 2. 405=8 resto 0
  05
  8'5+0=40+0=40

No existe diviso por zero

 Considere, por exemplo, 60.
  O resultado dessa diviso deveria ser o nico nmero que, multiplicado por 0, d 6.
  No existe, no entanto, nmero assim.
  Concluso:  impossvel efetuar 60.
  Tambm  impossvel efetuar 
  00.
  Seu resultado deveria ser o nico nmero que, multiplicado por 0, d 0.
  No entanto, todo nmero multiplicado por 0 d 0. Existem assim infinitos valores quando deveria haver um s.
<P>
_`[{histria em trs quadrinhos_`]
 1- A professora diz para a menina: "No existe diviso por 0." A menina pensa: "Ser?"
 2- Usando uma calculadora, a menina fala: "Digitei 60. 
  Apertando a tecla *=*, o que ser que vai dar?".
 3- No visor da calculadora aparece a letra E. Esse E quer dizer erro. O erro, no caso, foi dividir por 0.

<31>
Atividades

83. Pensei em um nmero e multipliquei-o por 38. Obtive 1.102. Em que nmero pensei?
 84. Numa multiplicao, o produto  3.819 e um dos fatores  19. Qual  o outro fator?
 85. Quando se divide um certo nmero natural por 102, encontra-se quociente 13 e resto 5. Qual  esse nmero natural?
<P>
86. Na calculadora:
 a) Verifique se 88018  uma diviso exata.
 b) Se no for, verifique qual  o maior nmero, divisvel por 18, menor que 880. (Divisvel por 18 significa que a diviso por 18  exata).
 c) Calcule o resto da diviso 88018 usando somente a calculadora. (No vale usar lpis e papel!)

87. Usando a calculadora, descubra o resto da diviso 7.42023. A seguir, sem efetuar mais clculos, apresente o resto e o quociente das divises de 7.421, 7.422 e 7.423 por 23.

Pensando em casa

88. Pensei em um nmero, dividi esse nmero por 14 e obtive 15. Em que nmero pensei?
<P>
 89. Pensei em um nmero e multipliquei-o por 9. Obtive 1.332. Em que nmero pensei?

90. Nos esquemas, esto indicados: dividendo, divisor, quociente e resto. Encontre o nmero natural que deve ser colocado no lugar de.
 a) '''8=37 resto 0
 b) '''8=37 resto 5
 c) 808'''=134 resto 4
 d) 2.835'''=3 resto 666

91. Na calculadora:
 a) Comprove que a diviso 56.88721 no  exata.
 b) Qual o maior nmero, menor que 56.887, cuja diviso por 21  exata?
 c) Usando somente a calculadora, calcule o quociente e o resto da diviso 56.88721.
 d) Faa uma multiplicao e uma adio e comprove que seus resultados do item anterior esto corretos.

Desafios e surpresas

8. No esquema a seguir, esto representados o dividendo, o divisor, o quociente e o resto. Esta diviso pode ter resto zero ou no.

'''13=7 resto ...

a) D trs exemplos de dividendos que se encaixam nesse esquema.
 b) O resto dessa diviso pode ser 15? Por qu?
 c) Quantos so os possveis valores do dividendo que se encaixam no esquema?

9. Na diviso de um nmero natural por 15, o resto  10.
 a) D trs exemplos de divises como essa.
 b) Quantas divises se encaixam na situao apresentada?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<32>
7- Expresses numricas

  Expresso numrica  uma sequncia de operaes matemticas.
  Por exemplo: 8+3"2  uma expresso numrica.
  Na expresso numrica 8+3"2, aparecem uma adio e uma multiplicao.
  Comeando a efetuar as operaes pela adio, o resultado obtido ser o mesmo que iniciando pela multiplicao? Veja:

<R+>
8+3"2=11"2=22 -- comeando pela adio
 8+3"2=8+6=14 -- comeando pela multiplicao
 O resultado certo  14 ou 22?
<R->

  Para evitar dvidas desse tipo, os matemticos criaram regras para efetuar as expresses numricas.
  Usando a regra a seguir, voc ver que o resultado certo de 8+3"2  14.
<P>
  Numa expresso numrica, primeiro efetuamos as multiplicaes e divises, na ordem em que elas aparecem. S depois efetuamos as adies e subtraes, tambm na ordem em que aparecem.

Exemplo

  Vamos calcular o valor da expresso 100-3"20+122.

<F->
100-3'20+122=
=100-60+122=
=100-60+6=
=40+6=
=46
<F+>

<33>
Parnteses, colchetes e chaves

  Rubens somou 6 com 7 e, depois, multiplicou o resultado por 2.

6+7=13
 13"2=26

  Aqui aparecem uma adio e uma multiplicao, mas a sequncia de operaes no pode ser indicada assim: 6+7"2. Nesse caso, pela regra, precisaramos efetuar primeiro a multiplicao, e o resultado seria 20: 6+7"2=6+14=20
  E o resultado obtido por 
 Rubens no foi esse. Foi 26.
  Para casos como esse, os matemticos usam os seguintes sinais:

<F->
`( `) parnteses
  colchetes
~l_, chaves
<F+>

  Usando a regra que veremos a seguir, a expresso numrica que indica as operaes que Rubens efetuou  essa: (6+7)"2.

  Nas expresses numricas com parnteses, colchetes e chaves, primeiro efetuamos os clculos dentro dos parnteses; depois, os 
<P>
clculos dentro dos colchetes; e, por fim, os clculos dentro das chaves.

Exemplos

<F->
100-3'(20+12)2=
=100-3'322=
=100-962=
=100-48=
=52
<F+>
<F->
2'~l22'22-(22-202)+
  +2_,=
=2'~l22'22-(22-10)+2_,=
=2'~l22'22-12+2_,=
=2'~l22'10+2_,=
=2'~l220+2_,=
=2'222=
=444
<F+>

  Aprendendo as regras e smbolos das expresses numricas, voc passou a conhecer caractersticas da escrita matemtica que so usadas o tempo todo, inclusive com outros tipos de nmeros, como os decimais.

<34>
Atividades

<R+>
92. Calcule o valor de cada expresso numrica:
 a) 400-6'8+1042
 b) 400-3002+25'2
 c) 10+240302+13
 d) 150-2'3'5+10

93. Voc sabe que 7+3'5 deve resultar em 22. Pegue uma calculadora e efetue essa expresso. O resultado foi 22 mesmo? Se no foi, como se deve proceder para obter esse resultado na calculadora?

94. Apresente o resultado de:
 a) 30-40(8-3)2
 b) 100-413'(20-5'4)+1
 c) 400-~l10-30(30-017)-1_,
 d) 27+~l14+3'100`(18-4'
  '2`)+7_,13

95. Calcule o valor de cada expresso. Note que elas vm em trios. Depois dos clculos, diga em que casos a posio dos parnteses muda o resultado e em que casos no muda.
 a) 5'(9+8)
 b) 5'9+8
 c) (5'9)+8
 d) 7'(6+3)
 e) 7'6+3
 f) (7'6)+3
 g) (3+4)'2
 h) 3+4'2
 i) 3+(4'2)

96. Escreva as expresses numricas que correspondem s operaes dadas a seguir, mas s use parnteses se eles forem necessrios.
 a) Somei 27 com 36. Dividi o resultado por 9.
 b) Dividi 56 por 8. Somei o resultado com 12.
 c) De 54 tirei (subtra) 36. Somei o resultado com 108.
 d) Subtra 139 de 256. Multipliquei a diferena por 7.
<P>
 e) Multipliquei 17 por 12 e somei o resultado com 41.
 f) Multipliquei 17 pela soma de 12 com 41.

97. Coloque os sinais *+*, *-*, *"*, **, `( `) e  , de modo a obter as igualdades:
 a) ...3...3...3...3=1
 b) ...3...3...3...3=2
 c) ...3...3...3...3=3
 d) ...3...3...3...3=4
 e) ...3...3...3...3=5
 f) ...3...3...3...3=6
 g) ...3...3...3...3=7
 h) ...3...3...3...3=8
 i) ...3...3...3...3=9
 j) ...3...3...3...3=10
<R->

98. Trs zs

  O criptograma numrico que se v a seguir  uma homenagem  programao sonfera da televiso. Na multiplicao que ele representa, a cada letra corresponde um dgito, sendo que a letras iguais correspondem dgitos iguais e a letras diferentes, dgitos diferentes. Qual  a multiplicao?

*Superinteressante*. So Paulo: 
  Abril, mai. 1999. p. 91.

<F->
 {t{e
"{v{e
::::::::
{z{z{z...
<F+>

<35>
<R+>
99. Somei 11 com 12, multipliquei por 13, tirei 14 e dividi por 15.
 a) Indique essa sequncia de operaes com uma expresso numrica. S use parnteses, colchetes e chaves se eles forem necessrios.
 b) O resultado dessa expresso  16? Se no for, qual ?

100. Apresente a expresso numrica que resolve cada problema dado. S use parnteses se eles forem necessrios.
<P>
 a) Fui a um restaurante com quatro amigos. Ns cinco dividimos igualmente uma conta de R$30,00. Paguei a minha parte e fiquei com R$8,00. Quanto eu tinha quando entrei no restaurante?
 b) Era Natal e num nibus havia 19 adultos e 14 crianas. Papai Noel chegou e distribuiu R$70,00 entre eles. No houve discriminao: todos receberam a mesma quantia. Qual foi essa quantia?
 c) Num restaurante, a conta de uma mesa com 8 pessoas foi de R$48,00 e a de outra, com 10 pessoas, foi de R$150,00. As pessoas das duas mesas estavam juntas e dividiram igualmente entre elas o total das duas contas. Quanto cada uma pagou?

101. Em cada caso a seguir, faltam parnteses. Coloque-os para obter os resultados desejados.
 a) 10-2'3+1=2
 b) 10-2'3+1=25
 c) 72+6012-8=87
 d) 72+6012-8=3

Pensando em casa

102. Que nmero natural deve ser colocado no lugar do ...?

(5"...+6)7=8

  Sugesto:
  Cubra, com uma rgua, parte do problema.
  Qual  o nmero que, dividido por 7, resulta 8?
  Ache esse nmero. Ele corresponde  parte escondida, que  5"...+6.
  Use a regra mais uma vez, resolvendo a segunda parte do problema.
  Qual  o nmero que, adicionado a 6, resulta 56? ...+6=56
  Agora ficou fcil!
  Continue seguindo as pistas e encontre o valor do nmero procurado.

103. Que nmero natural devemos colocar no lugar de ...?
 a) 7"...+32=67
 b) (5+5"6)7=...
 c) `(...2+10)3=8
 d) `(22-...`)2+8=14

<36>
104. _`[{use a calculadora_`] Pense em um nmero entre 50 e 100. Agora, copie a expresso a seguir trocando cada ... pelo nmero que voc pensou: 

`(..."...+6"...+9)(...+3`)

  Voc deve obter como resultado dessa expresso um nmero trs unidades maior do que o nmero que voc pensou. Se isso no acontecer,  porque voc se enganou e, portanto, deve refazer os clculos.

105. Encontre o valor das expresses.
 a) 10.000100+8'17'0-10'10 
 b) 3'3'3+12555-27
<P>
 c) 124'3-2'3-1.0001.000
 d) 80+30'2-020+2'5

106. Calcule:
 a) ~l9-(9'7-60)+2'41+
  +(32-16'2)13_,11
 b) 25-~l3'17-10+6'
  '(8-4'2)+2+3-4'4_,5
 107. Escreva a expresso numrica que corresponde s operaes indicadas a seguir. S use parnteses quando eles forem necessrios.
 a) Somei 127 com 356 e subtra o resultado de 1.000.
 b) Somei 19 com 14 e dividi 70.000 pelo resultado.

108. Neste exerccio,  proibido efetuar qualquer clculo. Voc s poder indic-los. Em cada item, temos um pequeno problema. Como resposta, voc no deve escrever um nmero, mas sim uma expresso numrica, com todas as operaes necessrias  resolu-
<P>
  o do problema. S use parnteses se forem necessrios.
 a) Um livro tem 160 pginas e eu j li 92. Quero completar a leitura em 4 dias, lendo o mesmo nmero de pginas em cada dia. Quantas pginas preciso ler por dia?
 b) Na bilheteria de um teatro, o responsvel comeou seu trabalho com R$53,00 em caixa. Vendeu 48 ingressos para estudantes, a R$3,00 cada, e mais 35 ingressos a R$7,00 cada. Depois disso, quanto ele dever ter em caixa?
 c) Joo tinha R$28,00; sua irm tinha R$17,00. Joo deu certa quantia para a irm, que ficou com um total de R$36,00. Depois disso, Joo ficou com que quantia?

109. Que nmero natural devemos colocar no lugar de ...?
 a) 7"...-31=25  
 b) ..."(3"2+7)=91 
<P>
 c) (4"...-1)3=25
 d) `(...-4"2)2+3=3

Desafios e surpresas

10. Que nmero natural devemos colocar no lugar de ...?

6'(7+8'9)-...10=11
 11. Na expresso 120-605-2, voc deve acrescentar parnteses apenas uma vez. Observe que, dependendo do lugar onde eles forem colocados, voc obter resultados diferentes. Faa a lista dos possveis resultados.
 12. Considere a expresso 603+2'6. Acrescente parnteses a ela apenas uma vez, de modo que obtenha o resultado mximo. Qual  esse resultado?
<R->

<37>
<P>
Ao sobre clculo mental

O time com mais gols ...

  A classe est dividida em times. Em cada rodada, o professor apresenta um clculo e espera cerca de 10 segundos.
  Os alunos tentam fazer a conta mentalmente e anotam o resultado num papel branco. Depois, o professor escreve os resultados na lousa. Cada time, honestamente, conta seus gols. Cada acerto vale 1 gol.
  Cada membro do time contribui no mximo com 6 gols.
  O time com mais gols ganha a rodada.
  Outras rodadas podem ser realizadas em outros dias.
  Quem prepara os clculos  o professor. Aqui vai uma sugesto.

Rodada 1  
 3+7+11+9 
 6+15+4+7 
 13+7+5+8 
 2+17+8+13
 6+9+12+8
 7+6+21+9

Rodada 2 
 13+19
 18+18
 27+35
 18+15
 34+47
 26+35

Rodada 3
 8+9-7  
 17-8-5 
 13+8-14
 8+6-9  
 8+5-7  
 9+12-13

Rodada 4
 70-45
 60-18
 72-26
 66-39
 53-28
 85-77

Rodada 5
 5'16   
 6'12   
 7'13   
 8'15   
 8'14   
 9'16   

Rodada 6
 30015 
 12024 
 1048
 6306
 847 
 7813

               ::::::::::::::::::::::::

<38>
8- Propriedades da adio e da 
  multiplicao

  Em Matemtica, a palavra *propriedade*  usada para se referir s caractersticas ou qualidades de um conceito. No caso, so algumas caractersticas da adio e da multiplicao, que vamos mostrar em seguida. Na verdade,  provvel que voc conhea essas propriedades, mas nunca tenha dado ateno a elas.

Multiplicao

  Vamos tratar de trs propriedades bsicas.

Comutatividade

  Como calcular a quantidade de quadradinhos da malha retangular a seguir?

<F->
----------------.
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
<F+>

  Podemos raciocinar de dois modos:
<R+>
  So 5 fileiras, cada uma com 8 quadradinhos. O total  58=40.
<P>
  So 8 colunas (ou fileiras verticais), cada uma com 5 quadradinhos. Nesse caso, se faz: 85=40.
<R->
  Os dois raciocnios so corretos, mas levam a multiplicaes diferentes: muda a ordem dos fatores, mas isso no altera o total.
  Os dois raciocnios continuariam corretos para outras malhas. Em todos os casos seria possvel trocar a ordem dos fatores sem interferir no produto.
  Essa propriedade  chamada comutativa, porque um dos significados de *comutar*  *trocar* e nesse caso podemos trocar a ordem dos fatores.

Associatividade

  Foram compradas 2 caixas, cada uma com 12 garrafas de refrigerante, ao preo unitrio de R$3,00. Qual foi o custo?
  Aqui tambm podemos raciocinar de dois modos:
<P>
<R+>
  Calculamos a quantidade de garrafas e multiplicamos pelo preo. (212)3=243=72. O custo  72 reais.
  Calculamos o preo de cada caixa e multiplicamos pelo nmero de caixas. 2(123)=2
  36=72. De novo, o custo  72 reais.
<R->
<39>
  O que muda de uma multiplicao para outra? A maneira de associar os fatores. No primeiro raciocnio, associamos primeiro 2 e 12; no segundo, comeamos associando 12 e 3. Os dois raciocnios continuaram vlidos com outras quantidades e preo. O produto seria sempre o mesmo.
  Temos ento a propriedade associativa da multiplicao.

Elemento neutro

  Voc j percebeu que multiplicar um nmero por 1 d o prprio nmero. Por isso, dizemos que na multiplicao 1  um elemento neutro, que nada altera. Essa  a propriedade do elemento neutro da multiplicao.

Adio

  A adio tem as mesmas propriedades da multiplicao.
  Ela  *comutativa*, porque a ordem das parcelas no altera a soma. Por exemplo, 234+307  o mesmo que 307+234.
  Ela  *associativa*, porque podemos associar as parcelas de muitos modos. Veja maneiras de fazer o clculo 17+15+13+5
  Sem pensar muito:
 17+15+13+5=
 =32+13+5=
 =45+5=
 =50
  Associando da melhor maneira:
 17+15+13+5=
 =30+20=
 =50
<P>
  Finalmente, a adio tem *elemento neutro*, que  o nmero zero. Por exemplo, 0+71=71+0=
 =71.

Adio e multiplicao

  As duas operaes juntas tambm tm uma propriedade especial. Vamos conhec-la. Um pai compra 3 ingressos de um espetculo de circo para seus filhos a R$10,00 cada ingresso; mais tarde, ele e a mulher tambm decidem ir e compram mais 2 ingressos pelo mesmo preo. Quanto ele gastou?
  H dois modos de pensar:
<R+>
  Somar as quantidades de ingressos e multiplicar pelo preo. (2+3)10=510=50. Gastou R$50,00.
  Juntar o que se gastou em cada compra e, depois, obter o total de gastos. 210+310=20+
  +30=50. Gastou R$50,00.
<R->
  Mais uma vez se pode notar que os dois raciocnios seriam corretos com outras quantidades. Os dois mtodos valem sempre. Eles mostram que (2+3)10=210+
 +310.
  Isto , voc pode somar e depois multiplicar ou voc pode distribuir a multiplicao pelas parcelas da adio.
  Essa  a propriedade *distributiva* da multiplicao em relao  adio.
<40>
  Voc j usou essa propriedade. Por exemplo, para efetuar a multiplicao a seguir, voc sabe que deve multiplicar 7 por 1, depois multiplicar 7 por 30 e, finalmente, somar os resultados. Voc distribuiu a multiplicao por 7 pelas parcelas 1 e 30. 317=217

Atividades

<R+>
110. Que nmero natural deve ser colocado no lugar de ...?
 a) 17+26=26+...
 b) (17+26)+35=17+`(...+35`)
<P>
 c) 17+...=17
 d) 0+...=35

111. Cada igualdade exemplifica uma propriedade da adio ou da multiplicao ou de ambas as operaes. Em cada caso, d o nome da propriedade.
 a) 11'13=13'11
 b) 7'15+7'35=7'(15+35)
 c) 12.345'1=12.345
 d) (38+43)+7=38+(43+7)

112. Use as propriedades comutativa e associativa da adio para calcular mentalmente sem esforo! Veja um exemplo:
  Em 7+18+3+15+2+15, mudando a ordem fica 7+3+18+2+15+
  +15.
  Associando as parcelas vizinhas vem 10+20+30=60.
  Use essas ideias e calcule mentalmente as somas:
 a) 16+14+9+17+1+3
 b) 15+12+5+8+11+19
<P>
 c) 13+16+19+1+4+7
 d) 13+17+19+14+11+16

113. De vez em quando, a pro-
  priedade distributiva tambm ajuda a efetuar clculo mental. Veja o exemplo:

<F->
 117'7+117'3=
=117'7+3=
=117'10=1.170
<F+>

  Agora,  sua vez. S escreva a resposta.
 a) 117'25+117'75
 b) 23'17+23'3
 c) 1.200'8+1.200'2
 d) 15'7+15'9+15'4

114. O gerente de um supermercado encomendou 150 caixas de sabo em p ao fabricante, ao preo de R$3,00 a unidade. Quando chegou o produto, o gerente percebeu que havia muita procura e imediatamente encomendou mais 200 caixas. Nessa situao, podemos calcular a quantia que o supermercado pagou ao fabricante de duas maneiras diferentes. Como essas maneiras apresentam um mesmo resultado, temos um exemplo da propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio. Mostre as duas maneiras.

Pensando em casa

115. Quanto vale ...?
 a) 18"(33"26)=(26"18)"...
 b) 345"...=345
 c) 17"(25+44)=17"25+17"...
 d) 23"(112-14)=`(23"112-..."
  "14`)

116. D os nomes das propriedades utilizadas nas duas primeiras passagens.

25'5.317'4=
 =5.317'25'4= :> 1 passagem
 =5.317'25'4= :> 2 passagem
 =5.317'100=
 =531.700

<41>
117. Ser que existe tambm uma propriedade distributiva da multiplicao em relao  subtrao? Antes de responder, veja estes exemplos:
  5'(20-12)=5'8=40
  Distribuindo a multiplicao vem:
  5'(20-12)=100-60=40

  10'(7-4)=10'3=30
  Distribuindo, fica
  10'7=70
  10'4=40

  Agora, responda  pergunta e d um exemplo.

118. Um marceneiro tem trs caixas de parafuso, caixa A, caixa B e caixa C, e quer junt-las em uma s caixa maior. Ele pode despejar nessa caixa o contedo das caixas A e B e depois o da caixa C. Esse fato indicaremos por `(a+b`)+c. Ele tambm pode despejar o contedo das caixas C e B e depois o da caixa A.
<P>
 a) Como se indica, usando as letras a, b, c, a segunda maneira de juntar os parafusos?
 b) Nos dois casos, a quantidade de parafusos na caixa grande ser a mesma?
 c) Essa situao corresponde a uma propriedade da adio. Que propriedade  essa?

119. Vamos calcular a soma de todos os nmeros naturais de 1 a 10. Quem quiser, pode ir somando na ordem, mas  mais simples aproveitar as propriedades comutativa e associativa. Dessa forma, associamos as parcelas das pontas para o meio, assim:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
 1+10=11
 2+9=11
 3+8=11
 4+7=11
 5+6=11
<P>
  So 5 parcelas valendo 11; portanto, a soma  511=55
  Use esse mtodo e calcule a soma dos nmeros naturais de 1 at 20, isto : 1+2+3+4+...+17+18+19+20.

Desafios e surpresas

13. Conta-se que o grande matemtico alemo Karl Friedrich Gauss, que viveu de 1777 a 1855, quando era ainda menino, assombrou seu professor fazendo um clculo aparentemente demorado em poucos segundos. O professor havia pedido a soma de todos os nmeros naturais de 1 at 100, esperando que seus alunos ficassem vrios minutos ocupados. Gauss deu a resposta quase imediatamente. Ele usou propriedades da adio que tornaram o clculo bem simples.
 a) Efetue 1+2+3+...+98+99+100.
<P>
 b) Use o mesmo mtodo e calcule a soma de todos os nmeros pares de 2 at 100.

14. Nesta adio, A e B so algarismos.

{a{b+{b{a=121

a) Descubra quanto vale A+B.
 b) Existem oito adies como essa, com soma 121. Quais so?

15. Voc deve fazer o clculo mentalmente. Para isso, tente usar a propriedade distributiva. O clculo  este: 237'9.876-137'9.876
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<42>
9- Propriedades da subtrao e 
  da diviso

  Ser que na subtrao e na diviso tambm vale a propriedade comutativa?
  Veja estes exemplos:
<R+>
 7-2=5, mas no se consegue efetuar 2-7 com os nmeros naturais;
 2010=2, mas no se consegue efetuar 1020 com os nmeros naturais.
<R->
  Portanto, na subtrao e na diviso, no vale a propriedade comutativa.
  E a propriedade associativa? Observe os exemplos:
 (7-3)-2=4-2=2
 7-(3-2)=7-1=6   
 (7-3)-2=7-(3-2)

(244)2=62=3
 24(42)=242=12
 (244)2=24(42)

  Assim, na subtrao e na diviso, no vale a propriedade associativa.
  Afinal, que propriedade tem a subtrao?
<P>
  Somando um mesmo nmero ao minuendo e ao subtraendo, a diferena no muda.

1.762-458=1.304
 4.107-2.803=1.304

4.107=1.762+2.345
 2.803=458+2.345
  Essa propriedade pode ser entendida de modo prtico, se voc acompanhar a idade de duas pessoas. Com o passar dos anos, as idades delas mudam, mas a diferena entre as duas idades no muda.

Exemplo

  Lus e Mrcio aniversariam hoje: Lus faz 15 anos e Mrcio faz 12. Daqui a 20 anos, Lus continuar sendo 3 anos mais velho que Mrcio.
<P>
<F->
hoje
 15 -- Lus
-12 -- Mrcio
::::
 3 -- diferena

daqui a 20 anos
 35 -- Lus
-32 -- Mrcio
::::
 3 -- diferena
<F+>

<43>
  Compare essas duas subtraes e veja o que aconteceu:
<R+>
  o minuendo aumentou 20;
  o subtraendo aumentou 20;
  a diferena se manteve a mesma.
<R->
  A diviso exata tem uma pro-
 priedade parecida:

  Multiplicando o dividendo e o divisor por um mesmo nmero, no nulo, o quociente no muda.

204=5 resto 0
 14028=5 resto 0
<P>
20'7=140
 4'7=28

Atividades

<R+>
120. Juntos, Joo e Maria tinham R$60,00. Veja o que aconteceu depois:
  Joo recebeu R$15,00 e Maria gastou R$9,00;
  Joo gastou R$17,00 e Maria recebeu R$14,00;
  Joo gastou R$21,00 e Maria gastou R$12,00;
  Joo deu R$25,00 para Maria.
  Depois de tudo isso, Joo e 
  Maria, juntos, passaram a ter quanto?

121. Por que as trs operaes de cada item tm resultados iguais?
 a) 17-8, 117-108 e 4.117-4.108
 b) 124, 12040 e 1.200400
<P>
122. Que nmero natural deve ser colocado no lugar de ...?
 a) 204=80...
 b) 15-2=...-13
 c) 36...=122
 d) 90-12=80-...

123. Eu tenho 12 anos e meu irmo tem 16.
 a) Quando eu tiver a idade que ele tem hoje, que idade ele ter?
 b) Quando ele tinha a metade da idade que eu tenho hoje, qual era a minha idade?

Pensando em casa

124. Hoje, Joo tem 10 anos e Maria tem 14.
 a) Qual  a diferena entre as idades deles hoje?
 b) Qual ser a diferena das idades deles daqui a 10 anos?
 c) Qual  a soma das idades deles hoje?
 d) Qual ser a soma das idades deles daqui a 10 anos?
<P>
125. H 5 anos, a soma da minha idade com a da minha irm era de 25 anos e a diferena era de 7 anos.
 a) Daqui a 5 anos, qual ser a soma das nossas idades?
 b) Daqui a 5 anos, qual ser a diferena das nossas idades?

126. Sempre tenho na poupana o dobro da quantia que minha irmzinha tem. Hoje ela tem R$92,00. Quando ela tiver o que eu tenho hoje, quanto eu terei?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<44>
10- Potenciao

  Pegue uma folha de papel e dobre-a ao meio. Sem desdobrar, dobre-a ao meio pela segunda vez. Repita a operao at ter dobrado a folha cinco vezes. Agora, desdobre a folha. Os vincos dividem 
<P>
a folha em certo nmero de partes. Quantas so?
  Voc notou? Cada vez que se dobrou a folha, o nmero de suas partes dobrou, no ? Veja o nmero de partes em que a folha ficou dividida.
  aps a 1 dobra: 2
  aps a 2 dobra: 2'2=4
  aps a 3 dobra: 2'2'2=8
  aps a 4 dobra: 2'2'2'2=
  =16
  aps a 5 dobra: 2'2'2'2'
  '2=32
  Portanto, a folha ficou dividida em 32 partes. Confira!

<F->
--------.
v-v-v-v-l
v-v-v-v-l
v-v-v-v-l
v-v-v-v-l
v-v-v-v-l
v-v-v-v-l
v-v-v-v-l
v-v-v-v-l
<F+>
<P>
  A resposta foi obtida assim: 2'2'2'2'2
  Esse tipo de multiplicao, com fatores iguais,  uma outra operao matemtica: a *potenciao*.

<45>
Potncias

  Considere este produto: 2'2'
 '2'2'2 (5 vezes)
  Na Matemtica, esse produto  indicado de modo abreviado, assim: 25 (dois elevado  quinta potncia ou dois  quinta)
  Nesse tipo de indicao, o nmero de baixo  o fator que ser multiplicado por ele mesmo algumas vezes. O nmero de cima indica quantos fatores iguais a multiplicao vai ter:
 25=2'2'2'2'2 
 25=32

2 -- base
 5 -- expoente
 25 -- potncia

<R+>
 o expoente 5 indica o nmero de vezes que o nmero 2 ser multiplicado;
  a base 2  o fator que se repete na multiplicao;
  a potncia 32  o produto.
<R->
  Por exemplo: 34=3'3'3'3
  Ento, 34=81 (dizemos: trs  quarta  81 ou trs elevado  quarta potncia  81). 
  *Importante*: perceba que a potenciao  uma operao que abrevia uma multiplicao de fatores iguais. Assim, em vez de escrever 2'2'2'2, escrevemos 24. Entretanto, a potenciao no  s isso. Ela  muito til em certos problemas, como veremos adiante.

Atividades

<R+>
127. Utilizando potncias, indique os seguintes produtos:
 a) 2'2'2'2
 b) 25'25
 c) 3'3'3'3'3'3
<P>
 d) 5'5'5'5'5
 e) x'x'x

128. Efetue:
 a) 23
 b) 34
 c) 53
 d) 54
 e) 112
 f) 105

<46>
129. Escreva as potncias explicadas a seguir e calcule o valor delas.
 a) a potncia de base 2 e de expoente 8;
 b) a potncia de base 3 e de expoente 3;
 c) 20 elevado  terceira;
 d) 8 elevado  segunda.

130. Na figura 1, h quatro quadrados. Dividindo cada um deles em quatro quadrados menores, obtemos a figura 2. E, da mesma forma, a figura 3.

<F->
Figura 1

----------------.
l       l       l
l       l       l
l       l       l
v-------v-------l
l       l       l
l       l       l
l       l       l
v-------v-------l

Figura 2

----------------.
l   l   l   l   l
v---v---v---v---l
l   l   l   l   l
v---v---v---v---l
l   l   l   l   l
v---v---v---v---l
l   l   l   l   l
v---v---v---v---l
<P>
Figura 3

----------------.
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
<F+>

a) O nmero de quadrados da figura 2 pode ser indicado com uma potncia de base 4. Qual ?
 b) O nmero de quadrados da figura 3 tambm pode ser indicado com uma potncia de base 4. Qual ?
 c) Quantos so os quadrados da figura 2?
 d) Quantos so os quadrados da figura 3?
<P>
Pensando em casa

131. Represente com potncias:
 a) 7'7'7'7 
 b) 8'8'8 
 c) 31'31 
 d) 2'2'2'2'2
 e) 4'4'4'4'4'4
 f) 3'3'3

132. Calcule:
 a) 02 
 b) 01.999 
 c) 13 
 d) 12.001
 e) 104
 f) 105

133. No lugar de ..., o que devemos colocar: **, *=* ou *o*?
 a) 33...52 
 b) 29...103 
 c) 73...182 
 d) 26...43
 e) 110...22
 f) 32...23
<P>
134. Responda:
 a) Calculando 105, obtm-se um nmero natural que termina com quantos zeros?
 b) Calculando 1027, obtm-se um nmero natural que termina com quantos zeros?

135. _`[{use a calculadora_`] Fazendo algumas tentativas, voc poder encontrar o nmero natural que deve ser colocado no lugar de ... Qual ? 
 a) ...2=81 
 b) ...2=144 
 c) ...3=27 
 d) ...3=1.000
 e) ...4=1.296
 f) 4...=64

136. Responda:
 a) Quanto vale a potncia de base 2 e expoente 4?
 b) Uma potncia de expoente 3 vale 216. Descubra a sua base.
 c) Uma potncia de base 7 vale 343. Descubra o seu expoente.

137. Para ver se vale a propriedade comutativa da potenciao, um aluno resolveu fazer o seguinte teste: calculou 23 e 32. Que resultados ele obteve? A que concluso ele deve ter chegado?

138. Veja o valor das fichas de um certo jogo:
  1 ficha vermelha vale 10 azuis
  1 ficha azul vale 10 verdes
  1 ficha verde vale 10 pretas
  1 ficha preta vale 10 brancas
  Responda com uma potncia: uma ficha vermelha pode ser trocada por quantas fichas:
 a) verdes?
 b) pretas?
 c) brancas?

139. Pegue uma folha de papel e dobre-a ao meio. Depois, do-
  bre-a de novo ao meio. Aps 
<P>
  dobrar ao meio 6 vezes, desdobre a folha. Em quantas partes ela ficou dividida?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<47>
11- Potenciao e raiz quadrada

Potncias com expoentes especiais

Expoentes 2 e 3

<R+>
 Quando o expoente  2, dizemos que a base est elevada *ao quadrado*. Por exemplo: 52=
  =25, ou seja, 5 ao quadrado  25.
<R->
  De onde vem a expresso ao quadrado?
  Imagine um quadrado com lado de 5 centmetros. Voc pode ver que ele  formado por 25 quadradinhos com lado de 1 centmetro.
<P>
  Por isso, dizemos que 25  52 e, tambm, que  o *quadrado de 5*.

<F->
----------.
v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-l
<F+>

  Esse fato no acontece s com a base 5. Um quadrado com 3 centmetros de lado pode ser formado por: 32=9 quadradinhos com 1 cm de lado.
  Dizemos que 9  o quadrado de 3. E assim por diante.
<R+>
  Quando o expoente  3, dizemos que a base est elevada *ao cubo*. Por exemplo: 23=8, ou seja, 2 ao cubo  8.
<R->
  De onde vem a expresso ao cubo?
  Agora, voc deve imaginar um cubo com lado (o termo mais correto  aresta) de 2 centmetros. Voc pode ver que ele  formado por 8 cubinhos com aresta de 1 centmetro.
  Por isso dizemos que 8  23 e, tambm, que  o cubo de 2.
  Esse fato no acontece s com a base 2. Um cubo com 4 centmetros de aresta pode ser formado por: 43=64 cubinhos com 1 cm de aresta.
  Dizemos que 64  o cubo de 4. E assim por diante.

<48>
Expoente 1

  Considere a potncia 51.
  O expoente 1 indica que o nmero 5 aparecer uma vez, ou seja: 51=5

  Todo nmero natural elevado ao expoente 1 tem como potncia o prprio nmero.
  Veja alguns exemplos:
 71=7 
 91=9 
 101=10

Expoente 0

  Observe:
 34=81
 33=27
 32=9
 31=3

  De cima para baixo, temos:
<R+>
  Os expoentes diminuem de 1 em 1: 4, 3, 2 e 1.
  Os resultados vo sendo divididos por 3: 81, 27, 9 e 3.
<R->
  Continuando assim, a prxima linha do quadro ser: 30=1
  Veja outro exemplo.
 104=10.000
 103=1.000
 102=100
 101=10 
  De cima para baixo, temos:
<R+>
  Os expoentes diminuem de 1 em 1.
  Os resultados vo sendo divididos por 10.
<R->
  Continuando assim, a prxima linha do quadro ser: 100=1
<P>
  Isso pode ser feito para todas as bases diferentes de zero. Consideramos ento que as potncias de expoente zero so iguais a 1.

<49>
  Todo nmero natural (exceto zero) elevado ao expoente zero resulta 1.

  Veja alguns exemplos:
 20=1 
 50=1 
 120=1

Raiz quadrada

  Vamos elevar 4 ao quadrado.
 42=4'4=16
  Agora, vamos fazer o caminho inverso.
 4 -- nmero cujo quadrado  16
  Dessa vez, partimos de 16 e vamos procurar o nmero que, elevado ao quadrado, d 16. Esse nmero  4. Ao fazer isso, estamos extraindo a *raiz quadrada* de 16:
 16 :> extraindo a raiz quadra-
  da :> 4
  O smbolo da raiz quadrada de 16  este: 16 (a raiz quadrada de 16). Ento: 16=4

  A raiz quadrada de um nmero natural  um nmero que, elevado ao quadrado, resulta no primeiro. Indica-se a raiz quadrada com o smbolo: .

  Por exemplo, vamos procurar a raiz quadrada de 49.
  Precisamos encontrar um nmero que, elevado ao quadrado, d 49.
  Elevando os nmeros naturais ao quadrado, um a um, veremos que a raiz quadrada de 49  7. 49=7
<50>
  Observe que, elevando ao quadrado um nmero natural e, depois, extraindo a sua raiz quadrada, volta-se ao ponto de partida.
 42=16
 16=4
<P>
72=49
 49=7

Observe

  Considere os nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
 7, ...
  Os quadrados desses nmeros so: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
  H nmeros naturais, como o 2 e o 3, que no aparecem nessa segunda lista: eles no so o qua-
 drado de nenhum nmero; portanto, no possuem raiz quadrada natural.
  Por exemplo, 10 no  um nmero natural, pois no existe nmero natural que, elevado ao quadrado, d 10.

<R+>
_`[{a menina diz: "Que interessante! Extrair a raiz quadrada e elevar ao quadrado so operaes inversas..."_`]

<51>
<P>
Atividades

140. Com 25 pontos  possvel formar um "quadrado":

<F->
g g g g g
g g g g g
g g g g g
g g g g g
g g g g g
<F+>

Se for possvel, forme um "quadrado" com:
 a) 9 pontos;
 b) 10 pontos;
 c) 16 pontos;
 d) 18 pontos.

141. Quantos cubinhos com 1 cm de aresta formam o cubo da figura? _`[{no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
142. D os resultados:
 a) 6 ao quadrado
 b) 6 ao cubo
 c) 171
 d) 2.0100

143. Calcule:
 a) 4
 b) 36
 c) 121
 d) 49
 e) 64
 f) 100

144. Sei que 732=5.329. E voc, sabe quanto  5.329?

145. O nmero 2.982 pode ser decomposto assim: 2'1.000+
  +9'100+8'10+2'1
  Essa decomposio pode ser escrita com potncias de 10: 2'103+9'102+8'101+
  +2'100
  Todo nmero de nosso sistema de numerao pode ser escrito dessa forma, com potncias de 10. Por isso, dizemos que nosso sistema  decimal. Escreva a decomposio com potncias de 10:
 a) 3.421
 b) 4.050

146. Diga qual potncia de 10  igual a:
 a) dez mil;
 b) um milho;
 c) cem milhes.

147. Nas expresses numricas, primeiro efetuamos os clculos que estiverem dentro dos parnteses; depois, os que estiverem dentro dos colchetes e, por ltimo, os de dentro das chaves. Dentro dos parnteses, colchetes ou chaves, primeiro as potncias e as razes quadradas; depois, as multiplicaes e divises e, finalmente, as adies e subtraes. Com essas informaes, efetue:
 a) 43-2'`(100+3'2)
 b) 100-49-(6-2'2)2
 c) (13+23+33)-`(1+2+
  +3`)2
 d) (1+3+5+7+9)-(2+3)2

_`[{a menina diz: "No final do livro h respostas das questes da seo de atividades. Confira a resposta que voc obteve. Se no estiver certa, tente refazer a questo."_`]

<52>
Pensando em casa

148. Efetue:
 a) 0172  
 b) 1720  
 c) 1172
 d) 1721
 e) 01
 f) 10

149. De acordo com a tabela a seguir, diga quais so os pases cuja populao ultrapassa:
 a) 109 habitantes;
 b) 108 habitantes.

_`[{tabela: "O Brasil no mundo", composta por duas colunas: Pas e Populao (em milhes) 2007_`]

 1 China -- 1.313,4
 2 ndia -- 1.135,6
 3 Estados Unidos -- 303,9
 4 Indonsia -- 228,1
 5 Brasil -- 183,9

*Almanaque Abril*. So Paulo: Abril, 2008. p. 640.

150. Calcule o valor das expresses:
 a) (53-25)(26-36)
 b) 2'61-`(100+12)11
 c) ~l5'(31-9)7+23-
  -144_,(4-1)
 d) 16'~l32'(23-5)'
  '16+1-25_,

151. Qual  o nmero natural que deve ser colocado no lugar 
  de ...?
 a) ...2+42=25
 b) `(...+4)2=25
<P>
152. Existem dois nmeros naturais que, elevados ao quadrado, resultam neles mesmos. Quais so? 
 153. Certos nmeros so chamados de quadrados perfeitos: so os quadrados dos nmeros naturais. Por exemplo, 25  um quadrado perfeito porque 52=25; 100  um quadrado perfeito porque 102=100. Escreva todos os quadrados perfeitos de 0 a 100.

Desafios e surpresas

16. Descubra o nmero natural que deve ser colocado no lugar de ...:
 `(...-3)2-62=100

17. Uma escola tem 364 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto, contou a 3 colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses 3 contou a novidade a 3 colegas que ainda no a conheciam. Assim, cada um que recebia a notcia sempre a transmitia a 3 colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto.
 a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no terceiro minuto?
 b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato nos trs primeiros minutos?
 c) Em quantos minutos todos os alunos ficaram sabendo do boato?
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte